矩阵转置计算器：沿主对角线翻折转置 Aᵀ 把 A 的每一行变成一列：第 i 行第 j 列的元素移到第 j 行第 i 列，即 \((Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ\)。2×3 矩阵变成 3×2。输入：transpose [[1,2,3],[4,5,6]] 或 \([[1,2],[3,4]]^{T}\)。例如 [[1,2,3],[4,5,6]] → [[1,4],[2,5],[3,6]]。注意：(AB)ᵀ = BᵀAᵀ，顺序会反过来。
\[(A^{\mathsf{T}})_{ij}=A_{ji}\]
转置为何重要以及如何验算
转置计算简单却是线性代数的核心。等于自身转置的矩阵 \(A = Aᵀ\) 是对称矩阵——协方差矩阵、海森矩阵和最小二乘的矩阵都是如此。点积可写成 uᵀv，求解超定方程组的正规方程 \(AᵀA x = Aᵀb\) 也从转置开始。在三维图形中，旋转矩阵的转置等于其逆。
两条值得记住：转置会交换乘积顺序，\((AB)ᵀ = BᵀAᵀ\)，不是 AᵀBᵀ；转置两次回到原矩阵，\((Aᵀ)ᵀ = A\)——这是最快的验算：把答案再转置一次应回到 A。
常见错误：对长方形矩阵期待方形结果（m×n 变成 n×m），以及把某行抄到错误的列。逐列读取结果——Aᵀ 的每一列依次是 A 的各行。对 [[1,2,3],[4,5,6]]，第一列 1,4 正是第一行竖着读。
一个 3×3 例子与对称矩阵
对方阵而言，主对角线保持不动，只翻折上下两侧的元素：[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] 变为 [[1,4,7],[2,5,8],[3,6,9]]。若矩阵已等于其转置，则为对称矩阵；若 \(Aᵀ = -A\)，则为反对称矩阵，对角线全为 0。识别这两种情形能在后续省下大量计算。
数据、最小二乘与行列互换
在数据表中，转置把行（记录）变成列（特征）——分析时常需要的变换。在线性代数里，正规方程 \(AᵀA x = Aᵀb\) 是最小二乘解的核心，而 AᵀA 总是对称的。因此从回归到图像处理，转置是许多算法中一个无声的步骤。
长方形例题与下标法则
转置 [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]：行变成列，于是 2×3 矩阵变为 3×2 矩阵 [[1, 4], [2, 5], [3, 6]]。简洁法则是 \((Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ\)——转置的 (i, j) 元就是原矩阵的 (j, i) 元。把"1 2 3"沿第一列向下读、而非沿第一行横读，便是全部操作；形状总是从 m×n 变到 n×m。
由此得出两条值得记住的代数事实：\((Aᵀ)ᵀ = A\)（转置两次回到原矩阵）与 \((AB)ᵀ = BᵀAᵀ\)（乘积中顺序颠倒）。满足 \(Aᵀ = A⁻¹\) 的方阵是正交矩阵，正是旋转与 QR 分解背后的性质。这些法则把转置从一个记账步骤，变成你有意取用的工具。
对称分解与 Aᵀ 在数据中的出现
任何方阵都可借转置干净地分解：\(A = ½(A + Aᵀ) + ½(A - Aᵀ)\)，前一部分对称，后一部分反对称。转置还把向量在列与行之间翻转，所以 uᵀv 是一个 1×1 的数（点积），而 uvᵀ 是一整个矩阵（外积）——同样两个向量，转置位置相反。
在数据工作中，乘积 AᵀA 不断出现：它总是对称的，存储各列两两之间的点积，是协方差、最小二乘与主成分分析背后的格拉姆矩阵。所以转置不是装饰性的翻转——它是把数据表变成算法其余部分所需对称对象的一步，因此几乎出现在每一条线性代数流程里。